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zoom RSS Coxeter群と呼ばれる、日本の数学書ではろくにのっていないものについて2

<<   作成日時 : 2015/10/11 05:08   >>

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Prop. 2.1.4 Coxeter system の条件(C1), (C2) を満たすpair (W, S) に
対して(C3) は次の(C3)’ と同値. 即ち, Coxeter system の定義として,
(C1), (C2), (C3)’ を満たすものとしてもよい.
(C3)’ G:群, f: S からG への次を満たす写像とする.
ord(st) ̸= ∞ となるs, t ∈ S に対して
(f(s)f(t))ord(st) = eG.
このときF : W → G をs1, s2, . . . , sr ∈ S に対して
F(s1s2 . . . sr) := f(s1)f(s2) . . . f(sr)
で定義できる(eG はG の単位元とする).
Proof:
(C3)⇒(C3)’
s1, s2, . . . , sm, s′1, s′2, . . . , s′n ∈ S に対して
s1s2 . . . sm = s′1s′2 . . . s′n
のときに
f(s1)f(s2) . . . f(sm) = f(s′1)f(s′2) . . . f(s′n)
となることを示すとよい.
Rem. 2.1.2 よりs1s2 . . . sm は(st)m(s,t) = e の形の関係式を何度が用いて
s′1s′2 . . . s′n に用いて変形できる.
従って, 仮定より
(st)m(s,t) = e ⇒ f(s)f(t)m(s,t) = eG
であるので同様の関係式を用いることにより
f(s1)f(s2) . . . f(sm) = f(s′1)f(s′2) . . . f(s′n)
p14

(C3)’⇒(C3)
W には(st)m(s,t) の形以外の関係式がないことを示す.
この形以外に関係があったとすると
∃s1, s2, . . . , sr ∈ S s.t. s1s2 . . . sr = e
であるが, 左辺から右辺へは(st)m(s,t) = e の形の関係式のみを用いて変
形できない.
これを用いて矛盾を導く.
S′ をS から(st)m(s,t) = e の形以外の関係式を取り去ったものとし(集合
としてはS = S′ である), S′ で生成される群をW′ とする.
f : S → W′ を
f(s) := s for s ∈ S
で定義すると, ord(st) ̸= ∞ となるs, t ∈ S に対して
(f(s)f(t))ord(s,t) = (st)m(s,t) = e
となるので, (C3)’ よりF : W → W′ をs′1, s′2, . . . , s′k ∈ S に対して
F(s′1s′2 . . . s′k) := s′1s′2 . . . s′k ∈ W′
で定義できる.
従って, s1s2 . . . sr = e より
s1s2 . . . sr = e in W′.
これは, W′ には(st)m(s,t) = e の形以外の関係式がないことに反する.

実は分からないことがあった、私にとって。
それは、(C3)’⇒(C3)での方針であった。なんだか、別の方法があるようにかんじたのだ。

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