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zoom RSS コクセター群3:なあ、群の同型定理(群の同型写像)が使えないか?

<<   作成日時 : 2015/10/15 07:20   >>

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和歌山大学田川裕之先生
の、
「Coxeter 系と Kazhdan-Lusztig 多項式」
ですが、これはあり、ハッセ図あり、Bruhat OrderもKazhdan-Lusztig多項式ありで、
日本語でのコクセター群や付属するアルジブラなどにおいては本格的だと思います。
 群論の本を探して読んでも、コクセタ−群を本格的に述べた書物は無いのですから。
 確か先生は、共立出版の「あみだくじの数学」という本を書いておられます。

 このコクセターという型は2004年にお亡くなりになりましたが、現代のユークリッドと呼ばれた方で、思うに、
今世紀最後の幾何学者ではないでしょうか?
 この方が発見したのが鏡映をモデルにした1930年発見のこの群で、今もホットな分野です。
 だからs2=eなんです。鏡に映った自分を考えればお分かりかと・・・・そして、有限群にとって重要な互換が、
幾何学的に成りました。


2 Coxeter system
2.1 Coxeter system
Def. 2.1.1 (Coxeter system) 次の(C1)-(C3) を満たすpair (W, S) を
Coxeter system と呼ぶ.
(C1) W = 〈S〉 (i.e. W はS で生成される群2 ).
(C2) e ̸∈ S, s2 = e for ∀s ∈ S.
(C3) S のrelation は(st)m(s,t) = e (m(s, t) ∈ P ∪ {∞}) の形に限られる.
ただし, m(s, t) はst の位数として定義し, m(s, t) = ∞ はs とt に
全く関係がないことを意味する.
特に(W, S) がCoxeter system のときW をCoxeter group と呼ぶ.

で、
Prop.(命題) 2.1.4 Coxeter system の条件(C1), (C2) を満たすpair (W, S) に
対して(C3) は次の(C3)’ と同値. 即ち, Coxeter system の定義として,
(C1), (C2), (C3)’ を満たすものとしてもよい.
(C3)’ G:群, f: S からG への次を満たす写像とする.
ord(st) ̸= ∞ となるs, t ∈ S に対して
(f(s)f(t))ord(st) = eG.
このときF : W → G をs1, s2, . . . , sr ∈ S に対して
F(s1s2 . . . sr) := f(s1)f(s2) . . . f(sr)
で定義できる(eG はG の単位元とする).
というものなのだけど

 もっと気分良く、(C3)⇔(C3)'と一発で証明できたらなあ・・・ということであったけど、田川先生と言えば、コクセター群の偉い人ですので、以下の私の別証明が間違っていたら如何しようと思いつつ出しますね
**********(あたいの別証明)*****************************

 もしW→Gの写像が「群の同型写像」、つまり群の同型なら、一発で(C3)⇔(C3)’となって、問題は一発で解決しするのではないか?そんな気持ちがした。群の同型とは、たとえば、階段が3段の、リノリウムの階段と木製
の階段があれば、これを「同じ」と考える視点なのだ。

 しかし困ったことがある、Sもf(S)も、群の部分集合で群ですらなく、部分群じゃないのだ。

 で、さらに困ったことに、これまた制約が入るのですよ。
(その制約)
1.Sもf(S)も群として全く同じ構造で、同じ演算である。
しかし、Sでは単位元のeはなく、(st)m(s,t) = e (m(s,t)はstの位数)というのもダメ。
2.同じくf(S)でも単位元たるeGはなく、(f(s)f(t))ord(st) = eG (ord(st)は、stの位数)と言うのもダメ。

 まあけれどもこの制約を設けても(C1)と(C2)から、全然変わらず、群の部分集合たるS,f(S)なのだ。)そのことはいえる。

 ところで、Sとf(S)は同数で(つまり同じ濃度で)、全部に対応がつく「全単射」と集合論で呼ばれる写像が成立する。
 この「全単射」というのは、当たり前の話で、さっきの階段の段数は三段だったけど、どっちも三段で、対応がぴったり付けられる、とまあ、そういうことで。
 そして、この階段の段数を「濃度」という。

( けれども、この濃度に食い違いが出たとき、Sとf(S)に(制約を守った)対応が付けられるか?
 もし、Sとf(S)の濃度が食い違っているとすれば、それは、Sかf(S)に、単位元がなければならない。
 しかしそれは、(制約に反する)わけで、よってSとf(S)の濃度は、同じでなければならない。)

 (※これが無限集合の「濃度」というものになると、難しいし、哲学なのよ。
だけど代数学では、この無限集合論に使われているものを少し使っている。
 それは、イデアル論か可換環論あたりに、
 「ツォルンの補題」
 というのを使いますがご安心を。代数学は、この弱点なんぞ跳ね返して、もう、すごい面白いことに
なっているらしいのよ。使える使える。確率論にも使われだし、組み合わせ理論、グラフ理論など使われだしている。
 じゃあ、「フェルマーの最終予想に『代数学』はいるのかい?」と言われたら、
 「要るわい!あほんだら!」とお返事をしよう。

 面白いところは、この、「イデアル」という不思議なもので。フェルマーの最終予想に取り組んだクンマーという偉い数学者で「クンマー拡大」という代数学の有名なのを使って、フェルマーの最終予想は、100万まで正しいと結果を
出している。
 そしてこの問題はワイルズという人が解決したんだけど、ワイルズ先生の「楕円曲線論」は、
  代数学の「ガロア理論」
が絶対の下敷きになっているのね。
 でさらに、この楕円曲線論はインターネットの暗号に必須なのね。
 つまり、「数学」や情報科学は『普通の人の考えと違って』、『食べていける学問になっている』の。)

 (そんなもんだから、もし、親に「計算ができへんから」と言われて断られたら、
「食えない」とか言って、本当に数学をやってみたい。留年してでもの覚悟で。
 そういうときは、「ネットは数学でできていて、それで食っていけるんじゃ!」とか
、「コンピュータプログラミングに数学が要るんじゃ、情報科学が要るんじゃ!そんなこともわからんのか!」
と親に教えてあげましょう。最近は、ノーベル賞のような年齢制限の無い「アーベル賞」もでてきましたし。)


 さてと、このSとf(S)の「濃度」が同じでなければならない事は証明できましたわね。上記の背理法で考えた文で。

 さて、このf(S)に、(C3)'の「(f(s)f(t))ord(st) = eG」を付け加えます。
 するとこれは(f(s)f(t))ord(st) = eGがGの単位元となる群になります。
 つまりW→GのGになってしまいました。
 ここでW→Gの写像を造っているGという群についてを考えて見ましょう。
 このGはf(S)に、(C3)'の「(f(s)f(t))ord(st) = eG」を付け加えたものです。
 そうすると(C1)と(C2)から、生成された群の部分集合のSを入れている群W、Sと同じといえる群の部分集合
f(S)を入れている群Gがある。そういうわけで「部分集合Sと群W」と「部分集合f(S)と群G」は同じ濃度・構造であり、演算も同じなので、
 F(s1s2 . . . sr) := f(s1)f(s2) . . . f(sr)を考えますと、FというW→Gに移す群の同型写像には、もうひとつ、
逆にG→Wに持っていける群の同型写像が考えられますね。
 だって、(C1)と(C2)から、同じ濃度・同じ構造・同じ演算でありますので・・・・
 そこでこのFの逆写像を考えますと、これがWとGを考えれば全単射で、G→Wに持っていく群の同型写像である
ことがわかる。

 
 そのためG→Wにする群の同型写像は、F-と名づけましょう。

 ところで、以下に出てくる、この写像に出てくるKerFとかKerF-というのは、
「核(核エネではない)」といって、写像FやF−によって、移した先の群の単位元になる、
写像で移す前の群の元のことです。

 さて、そうするとF-の核は、KerF−=(f(s)f(t))ord(st) = eGです。もちろんf(s)やf(t)はGの任意の元の積です。
 群の同型写像Fの、群W→Gの写像のKerFは(st)m(s,t) = e
 m(s,t)はstの位数で、(st)m(s,t) = eというのは、stのm(s,t)乗は単位元になるいうことで、sもtも任意でよい。

 こうすると、いっぺんに(C3)⇔(C3)'ということが一発で分かり、群W→Gの同型写像のKerFは(st)m(s,t) = e
で、F-の、KerF-は(f(s)f(t))ord(st) = eGであることがわかります。
とまあ、(C3)⇔(C3)’がいっぺんに分かりました


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